年齡：從出生到20歲出頭

　　很多孩子都說過：“數學太難了！”——不僅僅是女孩兒，所有的孩子都一樣。孩子的腦已經習慣于快速應對日常生活中的問題了，也就是 說，跟解決代數問題相比，他們更擅長算計如何報復剛剛欺負過他的孩 子。(當然，這種“社會性計算”也需要某種數學能力，因為他需要事先 判斷一下周圍有多少對方的朋友，多少自己的朋友。)

　　孩子和很多動物都有神經系統來支持最原始的數量感。在正常情況下，這種數量感會跟人的其他能力結合在一起，使我們能夠創造和操縱 符號，從而生成正式的數學。這種數學只存在于某些社會文化中，在其他的社會文化中則沒有。數學看似不適合孩子的成長，其實對孩子的成長有益。

　　在過去幾十年里，人們越來越認識到，嬰兒有很強的“形成跟數字有關的概念”的能力。例如，把一個物體藏到屏幕后面，之后卻出來兩個物體，嬰兒會盯著物體看很久，表現出驚奇。相反，如果一只米老鼠玩具“躲”到屏幕后面，然后出來一輛卡車，嬰兒一點兒都不關心。而如果他看到一只米老鼠跟另一只米老鼠一塊兒出來，他就會表現出驚奇了，注視的時間就更長一點兒。這種注意新增加的物體的能力是數字概念的一個必要組成成分。

　　這種能力并不局限于較小的數。當一個 6 個月大的嬰兒看到一系列的圖片，每個圖片上都有若干個物體(黑點、面孔或者任何東西)時， 他會注意到圖片上物體的數量是否翻倍或者減半了。隨著年齡的增加，這種數量感越來越強。對嬰兒來說，他們不用數就能夠識別出 1 ∶ 2 的比率(例如，比較 4 個和 8 個物體，或者比較 6 個和 12 個物體)，不過 成人則能識別更精細的例如 7 ∶ 8 的比率。

　　數量感(分辨大小不同的群組)人人都有。數量識別則是另一種普遍性的數學能力，它是指在不需要一個一個去數的情況下就能夠立即知道有幾個物體(通常數量較小)的能力。這個術語來自于拉丁文 subitus，意思是“突然”。數量感和數量識別是所有動物共有的能力，而且，人和動物的腦中負責兩種能力的神經系統可能也是相同的。

　　在老鼠、狗甚至鴿子身上都可以看到這些能力。這些能力為這些物種提供了一種生存優勢：使動物能夠對事物的量進行估計，從食物來源 到潛在的敵人。例如，一般來說，當獅子聽到別的獅子在附近咆哮時， 他們會作出反應。但是，根據聽到的其他獅子的個數以及自己群體成員 的多寡，它們通常會作出不同的反應。如果覺得自己這邊數量上不占優，他們會召集同伴來支援。同樣，對猩猩來說，如果自己群體中個體的數 量不占優，它們也會避免跟對方發生沖突。

　　為什么研究人員花了幾十年的時間才了解小孩子的數量感呢？一個原因是早期的研究人員(如皮亞杰)在實驗中問錯了問題。例如，把小球排列成幾行，有的行小球間隔較遠，看起來好像更長。研究人員如果 問：“哪一行的物體更多？”那么，三四歲的兒童會指著數量較少，但是 排列得較稀疏的那一行。而如果把小球換成巧克力，并許諾孩子一會兒 就可以吃掉這些巧克力，那么，他們的表現要好得多。如果分析一下的 話，這個實驗似乎測量了兩種東西：數量感和清晰表達數量感的能力。3 歲的孩子有數量感，但是他不會說。除了讓他吃巧克力以外，你還真的 很難從他的嘴里知道他到底知不知道正確答案。

　　奇怪的是，如果是 2 歲的孩子，無論是小球還是巧克力，他們感知得都 很好。這個結果似乎表明，在 2 歲的時候，孩子有較清晰的數量感，但是在隨后的 1 年里，他們失去了這種抽象的感覺。到底發生了什么？一種可能是，在三四歲的時候，孩子的數量感經歷了一個“對數量的直覺”和“一種明確的、 較晚發展起來的抽象數字感”糅合在一起的過程。到了 5 歲，一切都搞定了， 此時，他去數一數小球就行了——不過，他們也許會期待吃到巧克力。

　　對巧克力的喜愛似乎是一種本能，實際上的確如此。研究證據表明， 黑猩猩也能在心里對數量進行類似于加法的組合。如果按照先后順序給 黑猩猩看 3 個盤子，每個盤子里面都有不同數量的巧克力，那么，他們 能夠判斷頭兩個盤子中的巧克力總和比第三個盤子里面的巧克力多還是 少。由此可見，從進化來說，最原始的數學能力比我們人類的歷史還要 悠久，它是孩子與生俱來的能力的一部分。

　　在人腦和猩猩的腦中，表征數量感的腦區是一樣的。數量信息似乎 由前額葉和頂葉后部來表征。一個關鍵的腦區是頂內溝。這是一個凹進 去的溝槽區域，表征著特定的數字概念(例如“第十七個”)。如果這個 腦區受到損傷，人們對數量問題的回答就只能接近正確，但是無法完全 正確——相當于黑猩猩的水平。

　　數量感能夠在演化中保留下來，使科學家們覺得，我們的腦對數量 的呈現可能跟它們的相對大小有關，就好像有一條心理的數列一樣。有 一些證據對這種提法提供了支持，例如，讓我們判斷兩個數哪個更大的 時候，如果這兩個數相鄰(如 8 和 7)，要比兩個數相隔較遠(如 8 和 2) 的時候需要更長的時間來反應，這就好像相鄰的兩個數在心理空間上也 是相鄰的一樣。在判斷相鄰的兩個數的時候，頂內溝會被激活。你可能 會覺得數量的存儲像計算機加工數字一樣，數字之間無論差異大小，分 辨難度差不多，但其實在腦中，情況可能完全不同。腦可能采用更加有 序的方式來表征數量，就好像尺子上面的刻度一樣。

　　當猴子看到特定數量的物體或者近似數量的物體時，它們的頂內溝位置的一些神經細胞會被激活。一般來說，這些腦區屬于腦中識別物體位置的神經通路，包括識別有多少個物體，這些物體要向哪個方向移動等。

　　頂葉負責“位置信息”的皮層(參見第 10 章)似乎有多種不同的功能。在眼睛運動的時候，猴子和人的頂葉皮層后部都會被激活。同時，當神經學家讓被測試者躺在磁共振掃描儀里，完成簡單的數學任務時， 他們發現，這個腦區還有一種有趣的能力：當人們在心里做加法或者減法運算時，即便眼睛沒有移動，這個腦區也被激活了。跟這個腦區有連 接的附近其他腦區緊密地參與了視覺功能，例如出現突然的眼球震顫(眼 跳)，對某個圖像移動方向的覺察等。因此，我們對空間的觀察方式可能 跟我們的心理數列密切關聯。甚至，我們可以根據頂葉皮層后部的激活 模式，在一定程度上預測某個人到底是在做加法還是減法，預測的正確 度大概是中等。

　　跟眼睛運動能力有關的腦區和與基本的計算能力有關的腦區有重疊，這一點似乎有點兒怪異，但是這也表明，我們的腦加工抽象信息的能力在一定程度上依賴于我們應對物理世界的方式。除了計算能力以外，我們的很多認知能力都以類似的方式“鑲嵌”在其他能力中。通過這種方 式，我們的腦就能夠采用進化過程中形成的更加具體的動作(例如尋找獵物或者在叢林中尋找回家的路等)，來進行抽象的思考。要想將這些估算能力轉換成精確的數學表述則需要符號表征能力。

　　這種能力是隨著語言而出現的。語言是一種高效而精細的表征信息的方 式。鸚鵡、海豚、恒河猴以及黑猩猩都能用符號來表征數量。例如，有兩只黑猩猩，一只叫作埃布爾，另一只叫作貝克。它們能從兩個數字中 選擇一個較大的，從而得到更多數量的糖果。在大多數情況下，動物還不能對符號進行加或減。但是有一只黑猩猩是個例外，它叫作謝巴赫， 經過幾年的訓練，它能完成一些簡單的加法計算。

　　即 便 人 類 有 計 算 和 數 學 的 心 理 能 力， 但 是 大 家 并 不 經 常 使 用。 法 國科學家斯坦尼斯亞斯 · 德阿納和皮埃爾 · 皮察研究了南美洲亞馬孫 叢林中的蒙杜魯庫人，這個部落的人不會計算，他們的語言中用來表 示數量的詞匯也非常少。其中只有幾個詞是精確的數量(pug ma 代表1，xep xep 代表 2)，大部分都只是近似數(如 ebapug 代表 2 和 5 之間， ebadipdip 代表 3 和 7 之間)。蒙杜魯庫人在進行大組物體的粗略加法時還 不錯，跟西方人做得一樣好。但是對小的數量進行精確計算時則不行了； 例如，如果把 6 顆豆子放進罐子，然后拿出 4 顆，問他們還剩幾顆時， 他們會說“0”或者“1”，很少會說“2”。

　　孩子早期的估算能力能夠預測他將來的計算能力。這表明，在孩子們開始能進行計算之前，他們加工數量的一般能力就已經出現個體差異了。那么，這種能力是否可以通過訓練得到提高呢？也許，可以通過訓練孩子早期的估算能力來提高他們將來的計算能力。雖然這個想法還沒有得到檢驗，但還是很有可能的。

　　基于基本的數量感，我們可以構建起更加復雜的概念，像復數、虛數、實數等。基于這些能力以及其他方面的腦功能，我們就可以發掘出更復雜的數學能力：乘法、三角函數、微積分等等。

　　關于腦如何生成抽象的數學，這方面的研究才剛剛開始，不過，研究人員已經有了一些發現。例如，較高水平的數學知識需要額外的概念和更多的腦區參與進來。代數要求孩子把他們的數量能力跟抽象符號的操縱能力結合在一起。對于剛剛開始學習代數的學生來說，入門的方式可以多種多樣。例如，跟解方程式相比，解應用題要相對容易一些。這些不同的處理方式要用到不同腦區。

　　為了考察解決問題時到底哪些腦區參與進來了，研究人員讓人們躺在磁共振掃描儀里面，同時解答應用題和類似的公式。(例如：1. 服務員卡西每天當班 4 小時，每小時賺 10 元，在下班時還能得到 12 元的小費， 那么請問，她一天到底能賺多少錢？ 2. 若 10H+12E，且 H4，那么， E是多少？)掃描結果表明，解應用題時，左側前額葉皮層被優先激活，這個腦區跟工作記憶和數量加工有關；解公式時，負責表征心理數列的 腦區被激活了，例如頂葉皮層的一部分，包括楔前葉(頂葉內側的一個 區域)以及部分基底神經節(對于動作和運動至關重要)。

　　這樣的差異表明，開始學習代數的學生可以嘗試不同的方式來解決 同一個問題。當問題較難時，除了我們前面提到過的皮層區域，會有更 多的左半球腦區參與進來。至于高等數學，像三角函數或微積分，還沒 有得到充分的研究，但是研究人員相信，這些能力可能也跟腦中負責符 號表征和空間操縱的神經系統有關。

　　在某種程度上，上面這些發現支持了歐幾里得關于幾何學的名言：“通往知識殿堂的路沒有捷徑。”數學是非常復雜的系統，是人類最偉大的發明之一。我們能夠發現負責講故事和控制眼睛運動的神經環路 也參與了產生、理解和應用數學，這本身就是一項了不起的發現。讓我們的腦適應我們的環境，是一件極其了不起的、我們的祖先從未想過的事情。